En 1951 recibió el Premio Stalin y después el Premio Lenin, máximo galardón soviético, en 1963. Sin embargo defendió de forma pública al escritor Alexander Solzhenitsyn en una carta enviada al diario Pravda en 1970. En 1974 Rostropóvich y su esposa abandonaron la Unión Soviética al haber sido privado de la posibilidad de dar conciertos y trabajar y, en 1978, se les retiró la nacionalidad soviética. Emigraron a Estados Unidos y en 1977 fue nombrado director de la Orquesta Sinfónica Nacional en Washington, D.C. que dirigió durante 17 años. En 1990 fue invitado a actuar con esta orquesta en la Unión Soviética por Mijaíl Gorbachov, ocasión en la que les fue devuelta la nacionalidad soviética a él y a Galina Vishnevskaya. No obstante mantuvo toda su vida los pasaportes de Mónaco y Suiza que eran con los que habitualmente viajaba.

En el año 1995 recibió el Polar Music Prize, un premio concedido por la Real Academia de Suecia de Música. En 1997 le fue concedido junto a Yehudi Menuhin el Premio Príncipe de Asturias de la Concordia. En 2004 le fue concedido el Premio de la Fundación Wolf de las Artes de Jerusalén.

El 27 de abril de 2007 falleció en un hospital de Moscú a los 80 años de edad a causa de un cáncer intestinal.